Задача

Натуральное десятичное N - значное число называется числом Армстронга, если сумма его цифр, возведенных в степень N, равна самому числу.

Примеры: 153 = 1³ + 5³ + 3³ ; 1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴.

Найти все числа Армстронга для 1<=N<=9.

Решение

Конечно, данную задачу можно было решить "в лоб", т.е. сделать простой перебор всех 10⁹ чисел и каждое число проверить. При этом на весьма солидной машине программа могла бы работать достаточно долго. Если бы цель задания заключалась только в нахождении чисел Армстронга, а не в составлении универсальной программы, разработка которой могла бы занимать большое время, то конечно, лучше было бы за 10 минут написать и 3 часа подождать.

Идея уменьшения класса исследуемых чисел заключается в следующем : можно делать перебор не самих чисел, а значений, которые могут получаться в результате степенной суммы ( т.е. суммы цифр числа, возведенных в степень числа цифр этого числа ). Здесь используется следующее свойство : от перемены цифр местами в числе степенная сумма не меняется. Т.е. например, незачем рассматривать все числа из класса : 135, 153, 315, 351, 531 и 513; достаточно рассмотреть одно из них, например, число 135; вычислить его степенную сумму : (135)ст = 153, а потом лишь убедиться в том что число 153 - это число Армстронга. Этот метод снижает число перебираемых чисел почти в N! раз. Сам же перебор осуществляется довольно просто : рассматриваются все числа, у которых любая цифра не меньше предыдущей и не больше последующей. Например: 12, 1557, 333 и т.д.

Итак, вышеописанный метод снизил число перебираемых чисел с 10⁹ до приблизительно 200000. Но это не все на чем стоит остановливаться. Можно применить еще одну хитрость, которая заключается в следующем : можно значительно ускорить вычисление степенной суммы. Можно заметить, что при вычислениях часто приходится многократно возводить некоторое число в некоторую степень. Чтобы это оптимизировать вводится двухмерный массив, в i-ой строке и j-ом столбце которого находится значение степенной суммы i с основанием j (например, Degree[123,j] = 1^j + 2^j + 3^j ). Таким образом , используется значение массива Degree[i,j]. Это существенно ускоряет процесс вычисления, если это сравнивать с некоторым процессом, в котором используется функция Degree(i,j), каждый раз вычисляющая значение i^j. Для вычисления выражения 10^j аналогичнo используется массив Degree10. Нужно заметить, что такая операция возведения в степень в программе вы полняется более 10000 раз; матрица Degree заполняется в начале программы, где операция возведения i в степень j выполняется около 8000 раз.

В промежутке 1<=N<=9 программа находит следующие 32 числа Армстронга:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 548834, 1741725, 4210818, 9800817, 9926315, 24678050, 24678051, 88593477, 146511208, 472335975, 534494836, 912985153.